Korijen od i

Znamo ili trebali bi znati da je korijen od  -1, tj. −1, jednak tzv. imaginarnoj jedinici i.

Ne možemo opisati korijen negativnog broja sa realnim brojem, jer je kvadrat od realnog broja realan broj i kvadrat negativnog broja kao i pozitivnog, pozitivan broj. Korijen od negativnog broja nije definisan u skupu realnih brojeva pa se uvodi nova vrsta brojeva, kompleksni brojevi koji imaju realnu i imaginarnu komponentu sa imaginarnom jedinicom i. 

Da li ste se ikad zapitali koliko je korijen od i , tj. i ?  Ne trebamo li uvesti novu vrstu brojeva da bi odgovorili to pitanje? 

Zapravo, ne.  Kad se izračuna može se vidjeti da je korijen od i, odnosno i zapravo novi kompleksan broj.  Da bi riješili koliko je korijen od i, ne treba nam neka nova specijalna jedinica j!

Kad smo se prvi put susreli sa imaginarnom jedinicom i, učili smo i o kompleksnim brojevima, ili brojevima oblika a + bi. Ispostavlja se da je korijen kompleksnih brojeva uvijek drugi kompleksan broj.

Razmotrimo na trenutak kompleksan broj 2+3i. Mi taj broj možemo kvadrirati na sljedeći način:

kvad

Dakle, korijen od -5 + 12i je 2 + 3i! Tako smo demonstrirali jedan slučaj gdje je korijen kompleksnog broja drugi kompleksni broj.

Algebarsko izvođenje

Pretpostavimo da postoji kompleksan broj a + bi koji je korijen od i, tj. i.  Kako je:

izt

i s obzirom da bi taj rezultat trebao biti jednak i, odatle dobijemo sistem jednadžbi:

tzb

Iz prve jednadžbe vidimo da a i b moraju biti ili jednaki ili suprotni, a iz druge jednadžbe vidimo da produkt ab mora biti jednak pozitivnoj jednoj polovini. Možemo izvesti zaključak da je a = b (kad bi bili suprotni, produkt bi bio negativan). Tako druga jednadžba postaje: 

ijk, a njeno rješenje je:

rjese

Dakle, broj i ima dva kvadratna korijena baš kao i pozitivni brojevi. Ta dva korijena su:

132,

123

Možete ih oba sami provjeriti tako što ćete ih kvadrirati i provjeriti da li dobijete i!

Jednom kad se naviknete na to da je imaginarna jedinica i samo još jedan od brojeva, onda ćete shvatiti da s njom mogu izvesti skoro sve operacije kao i sa realnim brojevima.

 

Advertisements