Kompleksan broj

 

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika {\displaystyle a+bi}, gde su a i {\displaystyle b} realni brojevi, {\displaystyle i} jedan simbol.

Complex number illustration.svg

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

malo

{\displaystyle (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,},{\displaystyle (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,},{\displaystyle {\frac {a+bi}{x+yi}}={\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\cdot i}

U kompleksnom broju {\displaystyle z=a+bi} broj {\displaystyle a} se naziva realni deo, piše se {\displaystyle a=Re(z)}, a broj {\displaystyle b} je imaginarni deo, piše se {\displaystyle b=Im(z)}.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz {\displaystyle i} jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva {\displaystyle (a,b)}. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

{\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,},{\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)},{\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}.

Par {\displaystyle (0;1)} se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom {\displaystyle i}. Iz poslednjih formula proizilazi da je {\displaystyle i^{2}=-1}. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

{\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1}.Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja {\displaystyle {\sqrt {-1}}} .

S druge strane, zapis oblika {\displaystyle z=x+yi} pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

{\displaystyle z=x+yi} i

{\displaystyle z=(x,y)} potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva {\displaystyle \mathbb {C} } je skup svih brojeva oblika {\displaystyle z=x+iy}, gdje su {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }.

Posebno je {\displaystyle 0=0+i0}.

{\displaystyle x=\mathrm {Re} (z)} je realni dio kompleksnog broja {\displaystyle z},

{\displaystyle y=\mathrm {Im} z} je imaginarni dio kompleksnog broja {\displaystyle z}.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

{\displaystyle z=x+iy} za {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

{\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }

pri čemu je

{\displaystyle r=\mid z\mid } modul

{\displaystyle \theta =ARgz} argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

{\displaystyle z=r^{i\theta }} za {\displaystyle r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }

pri čemu je

{\displaystyle r=\mid z\mid } modul

{\displaystyle \theta =ARgz} argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

{\displaystyle z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}

Konjugirano kompleksni broj broja {\displaystyle z=x+iy} je broj {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja {\displaystyle z} je nenegativni realni broj {\displaystyle r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

{\displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}} za {\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } komutativnost sabiranja

{\displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},} za {\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} } asocijativnost sabiranja

{\displaystyle \exists 0\in \mathbb {C} z+0=z} za {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} } neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj {\displaystyle 0=(0,0)=0+0i}

{\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0} postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj {\displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}

Osobine množenja kompleksnih brojeva

{\displaystyle (z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}} za {\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } komutativnost množenja

{\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}} za {\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} } asocijativnost množenja

{\displaystyle \exists 1\in \mathbb {C} z*1=z} za {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} } neutralni element {\displaystyle 1} za množenje

{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z)=1} postojanje reciproćnog elemanta

{\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}} za {\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} } distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva {\displaystyle b}, u oznaci {\displaystyle a\circ b},je realan broj određen kao

{\displaystyle a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})}

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima {\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}{\displaystyle b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )} Lako je proveriti da je

{\displaystyle a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}}

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

  1. {\displaystyle a\circ a=\mid a\mid ^{2}}
  2. {\displaystyle a\circ b=b\circ a}
  3. {\displaystyle {\overline {a\circ b}}=a\circ b}
  4. {\displaystyle (\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)}
  5. {\displaystyle (az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)}
  6. {\displaystyle a\circ b=0<=>OA\perp OB} (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima {\displaystyle a} i {\displaystyle b})

Realan proizvod kompleksnih brojeva {\displaystyle a} i {\displaystyle b} jednak je potenciji koordinantnog početka {\displaystyle O} kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik {\displaystyle AB}, gdje su {\displaystyle A} i {\displaystyle B} tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima {\displaystyle a} i {\displaystyle b}.

Tačka {\displaystyle M} je sredina duži AB određena kompleksnim brojem{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}, potencija tačke {\displaystyle O} u odnosu na krug sa središtem u tački {\displaystyle M} i poluprečnikom

{\displaystyle r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}} jednaka je

{\displaystyle OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b}

Neka su tačke {\displaystyle A}{\displaystyle B}{\displaystyle C}{\displaystyle D} taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c}, {\displaystyle d}. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. {\displaystyle AB\perp CD}
  2. {\displaystyle (a+b)\circ (c+d)=0}
  3. {\displaystyle {\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
  4. {\displaystyle Re({\frac {b-a}{d-c}})=0}

Središte kružnice opisane oko trougla {\displaystyle ABC} nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena {\displaystyle A}, {\displaystyle B},{\displaystyle C} trougla {\displaystyle ABC} određena kompleksnim brojevima {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c} respektivno, tada je ortocentar {\displaystyle H} tog trougla određen kompleksnim brojem {\displaystyle h=a+b+c}.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

{\displaystyle a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}} nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva {\displaystyle a} i {\displaystyle b}.

Neka su {\displaystyle A} i{\displaystyle B} tačke određene kompleksnim brojevima {\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )} i {\displaystyle a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )} Lako je provjeriti da je

{\displaystyle \mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}}

Neka su {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle c} kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

  1. {\displaystyle {\overline {a\times b}}=-a\times b}
  2. {\displaystyle a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b} gdje je {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
  3. {\displaystyle a\times b=-b\times a}
  4. {\displaystyle \alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)} , {\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} } )

Ako su {\displaystyle A(a)} i {\displaystyle B(b)} dvije različite tačke različite od {\displaystyle O(0)}, tada je {\displaystyle a\times b=0} onda i samo onda ako su {\displaystyle O}, {\displaystyle A},{\displaystyle B} kolinearne tačke.

Neka su {\displaystyle A(a}) i {\displaystyle B(b}) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva {\displaystyle a} i {\displaystyle b} ima sljedeći geometrijski smisao

{\displaystyle a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}} Neka su {\displaystyle A(a)}, {\displaystyle B(b)} i {\displaystyle C(c)} tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

{\displaystyle P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orjentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orjentisan\end{cases}}}

Neka su {\displaystyle A(a)}, {\displaystyle B(b)} i {\displaystyle C(c)} tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

  1. Tačke {\displaystyle A},{\displaystyle B},{\displaystyle C} su kolinearne
  2. {\displaystyle (b-a)\times (c-a)=0}
  3. {\displaystyle a\times b+b\times c+c\times a=0}

Neka su {\displaystyle A(a)}, {\displaystyle B(b)}, {\displaystyle C(c)} i {\displaystyle D(d)} četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je {\displaystyle AB\parallel CD} onda i samo onda ako je {\displaystyle (b-a)\times (d-c)=0}

Dijeljenje kompleksnih brojeva

{\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0}

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C} }

Neka je {\displaystyle z=x+yi\neq 0} bilo koji. Onda je {\displaystyle x^{2}+y^{2}\neq 0} pa je dobro definisan broj

{\displaystyle z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}

{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}

imamo

{\displaystyle z'*z=z*z'=1}

{\displaystyle z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}}

Konjugovano kompleksni brojevi

Complex conjugate picture.svg

Kompleksan broj {\displaystyle {\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }} nazivamo konjugovanim broju {\displaystyle z=x+yi=r^{i\theta }}.

Brojevi {\displaystyle z} i {\displaystyle {\overline {z}}} čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

{\displaystyle Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})}

{\displaystyle Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})}

Lako se provjerava da vrijedi

  1. {\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}
  2. {\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}
  3. {\displaystyle {\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}}
  4. {\displaystyle {\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}}[6]

Neka je {\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta } trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

{\displaystyle z^{2}=z*z}

{\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }

{\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }

{\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

{\displaystyle z^{n}=r^{n}\ cisn\theta } ili

{\displaystyle (cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)}

Stepenovanje kompleksnog broja

{\displaystyle z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }} za {\displaystyle n\in N}.

{\displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}

{\displaystyle (z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}

{\displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}

Korjenovanje kompleksnog broja

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}} za {\displaystyle n\in N}

gdje je

{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})} za {\displaystyle k=0,1,...(n-1)}

{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}} za {\displaystyle k=0,1,...(n-1)}

Kvadratni korjen imaginarnog broja

{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

{\displaystyle i=(a+bi)^{2}\!}

{\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!}

Dobijamo dvije jednačine

{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}

čija su rješenja

{\displaystyle a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}

Izbor glavnog korjena daje

{\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

{\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}}

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja {\displaystyle z=x+yi} je

{\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

{\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}

{\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

{\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}

{\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}

imamo

{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}

Primjer

{\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}

Dijeljenje

{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

{\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,},

{\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}}, za {\displaystyle a>0} i {\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}} za {\displaystyle a<0}; kada je {\displaystyle a=0} onda je {\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}, ako je {\displaystyle b>0} i {\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}}, ako je {\displaystyle b<0}. Broj {\displaystyle \rho } se naziva moduo kompleksnog broja, a {\displaystyle \phi } je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

{\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,} .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva {\displaystyle a,b,\rho ,\phi } vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora {\displaystyle \rho } je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: {\displaystyle |z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

{\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,};

tj.

{\displaystyle e^{in\phi }=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}\,};

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa {\displaystyle i}, takvog da je {\displaystyle i^{2}=-1}.

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})} i {\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}

onda je

{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=}

{\displaystyle r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=}

{\displaystyle r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1})=}

{\displaystyle r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2})}

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})} i {\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}

{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {r_{1}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{r_{2}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}}

{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}}

{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})}

De Moavrova formula 

Neka je {\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta } trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

{\displaystyle z^{2}=z*z}

{\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }

{\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }

{\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

{\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}

Izvor: Wikipedia

Advertisements