Schrödingerova jednadžba

 
Schrödinger cat.png


{\displaystyle -{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (r,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,t)+V(r,t)\psi (r)}

gdje je:

{\displaystyle \hbar } reducirana Planckova konstanta
{\displaystyle \ i\ } imaginarna jedinica, {\displaystyle i={\sqrt {-}}1}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} parcijalna derivacija po vremenu
{\displaystyle \psi \ (r,t)\ } valna funkcija
{\displaystyle \nabla ^{2}} nabla operator
 {\displaystyle \ V(r,t)\ } potencijalna energija

Ova jednadžba na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni gibanja. Schrödingerova jednadžba u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Iako se do ove jednadžbe ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatim:

– U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobiva se valno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o valnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.

– Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz {\displaystyle \hbar =0} jednadžba prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednadžbu klasične mehanike.

 

Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba

U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednadžba izgleda kao:

{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\psi (r)=E\psi (r),}

ili:

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +(V(r)-E)\psi =0,}

Promatrano sa matematičkog stajališta, valna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću valne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani. Osim matematičkih uvjeta, valna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednadžbe, mora zadovoljavati i neke fizikalne uvjete. Očito je da valna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednadžbu, također su fizikalni uvjeti. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je {\displaystyle \ V>E}, valna funkcija na velikim udaljenostima {\displaystyle \ r\rightarrow \infty } mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju {\displaystyle \ H\ } postoji skup vlastitih funkcija (eigenfunctions) {\displaystyle \psi _{n}\ } i odgovarajućih realnih vrijednosti {\displaystyle \ E_{n}\ } (vlastite vrijednosti, eigenvalues), za koje vrijedi:

{\displaystyle \ H\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih valnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).

 

Općenito rješenje Schrodingerove jednadžbe

Kada postoje određeni {\displaystyle \ E_{n}\ ,\psi _{n}\ }, rješenje vremenski ovisne Schrodingerove jednadžbe je:

{\displaystyle \psi _{n}(r,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }\psi _{n}(r)}

S obzirom da je Schrodingerova jednadžba linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

{\displaystyle \psi (r,t)=\sum _{n}C_{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }\psi _{n}(r)}

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednadžbu u nedegeneriranom slučaju, valne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na 1, tj. vrijedi:{\displaystyle \int \psi _{n}^{*}(r)\psi _{m}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\delta _{ij}}

gdje je:

{\displaystyle \delta _{ij}\ } – Kronecker delta simbol, {\displaystyle \delta _{ij}=1\ } za {\displaystyle i=j\ }, inače {\displaystyle \psi _{n}^{*}(r)\ } – kompleksno konjugirana funkcija of {\displaystyle \psi _{n}(r)\ }
 

Fizikalno značenje valne funkcije

Sama Schrodingerova jednadžba ne daje točno fizikalno značenje valne funkcije:{\displaystyle \psi (r)\ }. Do interpretacije značenja valne funkcije može se doći razmotranjem jednadžbe kontinuiteta iz klasične fizike:

{\displaystyle {\partial {\rho (r,t)} \over \partial t}+\nabla \cdot j=0}

gdje je:

{\displaystyle \rho (r,t)\ } – gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu

{\displaystyle \ j\ } – gustoća struje
{\displaystyle \nabla }operator divergencije

Ako se Schrodingerova jednadžba pomnoži sa {\displaystyle \psi _{n}^{*}(r)}, a kompleksno konjugirana Schrodingerova jednadžba pomnoži sa {\displaystyle \psi _{n}(r)\ }, te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobija se izraz:

{\displaystyle {\partial {\psi ^{*}\psi } \over \partial t}+{i\hbar  \over {2m}}\nabla \cdot (\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi )=0}

Ako se ova jednadžba usporedi sa jednadžbom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

{\displaystyle \rho (r,t)\ =e\psi ^{*}\psi }
{\displaystyle j={i\hbar e \over {2m}}(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi )}

Iako jednadžba kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća {\displaystyle \rho (r,t)\ } se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja {\displaystyle \ j\ } je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednadžba kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehanici impuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno točno odrediti, već je njihovo određivanje ograničeno Heisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacija {\displaystyle \ j\ }u jednadžbi kontinuiteta mora redefinirati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerojatnosna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt {\displaystyle \ f(r)\ =\psi ^{*}\psi } treba shvatiti kao gustoću vjerojatnosti da se čestica nalazi u točki prostora definiranoj sa  r. To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, Sama valna funkcija {\displaystyle \psi _{n}(r)\ }, koja može biti i kompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerojatnost da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu{\displaystyle \ d^{3}x\ } jednaka je {\displaystyle \psi ^{*}\psi d^{3}x\ }. Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uvjeta ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost 1. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrodingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.

 

 

Advertisements